☆ Loi géométrique

Soit  `(X_n)`  une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes une loi de Bernoulli de même paramètre  `p\in [0,1]` .
On considère `Y`  la variable aléatoire qui donne le rang du premier succès de cette succession d'expériences  indépendantes.
On dit alors que  `Y`  suit la loi géométrique de paramètre  `p` .

1. Justifier que, pour tout entier naturel non nul `k` , on a   `P(Y=k)=p(1-p)^(k-1)` .
2. Montrer que, pour tout entier naturel non nul  `k` , on a  \(P(Y \leqslant k) = 1-(1-p)^k\) .
3. Déterminer la valeur de  `k`  à partir de laquelle on a  \(P(Y \leqslant k) \geqslant \dfrac{1}{2}\) .
4. Que vaut  \(\displaystyle\lim_{k\to+\infty}P(Y\leqslant k)\)  ? Comment interpréter ce résultat ?